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http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del,_Escher,_Bach 괴델 에셔 바흐 (괴델 원문은 너무 난해 해서 돌아가는 길 선택.. )
http://jlsystem.sourceforge.net/ 린덴마이어 시스템
http://www.contextfreeart.org/  컨텍스트 프리
음색 (Timbre) - 도미솔 화음 - 하모닉스,옥타브, 세번째 옥타브에서 하모닉 주파수 불일치..
갈루아 (Galois)

왜 수학에 관심을 가져야 하는가 - 구글 검색의 비밀

미래에 어떤 직업을 꿈꾸고 있는가?
세상에는 셀 수도 없이 많은 직업이 존재하고 또 그것을 위한 준비 과정도 다양하다. 그래도 가장 공통분모가 큰 것을 찾는다면 아마 수학이지 않을까 싶다. 최근 미국 금융가에 수학자, 통계물리학자가 스카웃되어 돈을 번다는 기사들 많이 보았을 것이다(사실 사회적으로 이 현상이 바람직하냐 안하냐는 논란이 많다). 뿐만아니라 구글의 탄생 배경에 "구글 페이지 랭크 알고리즘"이라는 것이 있다. 또 페이스북이나, 다른것들은 어떤가. 속을 들여다 보면 "그래프이론"이라는 수학의 한부분이 주축을 이루고 있다. 그리고 우리가 매일 인터넷으로 결재하고 인증하고 하는 부분들.. 사실을 "정수"를 다루는 학문에서 출발한 암호학이 들어 있다. 그외 셀 수도 없이....

오늘은 그 유명한 "구글 페이지 랭크 알고리즘"을 쉽게 살펴보자. 우선 구글에서  "구글 페이지 랭크 알고리즘" 검색어를 입력하면 첫번째로 나오는 페이지에서 그 내용을 설명하고 있다.(놀랍다. 이래서 구글 검색이 영향력 있는거 아니겠는가?)  http://sungmooncho.com/2012/08/26/pagerank/
왜 이 페이지가 처음으로 보일까? 물론 그페이지를 자세히 읽어보면 내용을 알 수 있겠지만 좀더 쉬운 예제로 살펴 보자

일단 요새는 휴대폰에 친한 친구들 연락처 다들 저장하고 있을것이다. 그걸로 인기도를 측정해보자. 간단하게 A,B,C,D 네 친구가 있다. 각자 휴대폰에

사람    저장연락처
====    ==========
A:       C
B:       A,C,D
C:       A,D
D:       A,B

가 되어 있다면 누가 가장 인기 있다고 볼 수 있을까? A가 갯수가 가장 많으니 A? 글쎄다 구글 계산법에 의하면

나의 인기도
= (1-d)
+ d*(내번호를 저장하고 있는 친구1의 인기도)/(친구1이 저장하고 있는 전화번호 개수)
+ d*(............................친구2의 .........)/(친구2가  ............)
+ d*(............................친구3의 .........)/(친구3이  ............)  
+ ........


즉 나의 인기도는

• 나의 전화번호를 저장하고 있는 친구들의 수.
• 또 그 친구들 각자의 인기도
• 그리고 그 친구들이 각각 저장하고 있는 전화번호 개수
• 등에 의해 결정된다..

여기서 d는 좀 특수한 수자인데.. 일단 0.85 라고 알고가자..

다소 이야기가 복잡한데 모르니 위의 예를 직접가지고 풀어보자. 각각의 인기도를 a,b,c,d 라 하면

a = (1-0.85) + 0.85 * (b/3 + c/2 + d/2)  (A의 전화번로를 B,C,D 가 가지고 있음)
b = (1-0.85) + 0.85 * (d/2)                  (B의 전화번호는 D 만가지고 있음)
c = (1-0.85) + 0.85 * (a/1+b/3)
d = (1-0.85) + 0.85 * (b/3 + c/2)

이리 정리되면 한결 보기 편해졌다. 이제 행열을 배웠다면 이것을 어떻게 쉽게 풀지 알것이다.

대충 엑셀에서 이식을 풀어보니 (MINVERSE, MMULT 이용하면 됨)



나온다.  결과를 보면 오히려 C 의 인기도가 높다. 이유는 비교적 인기높은 A의 주소록을  독점하고 있는데서 온다.
사실 인터넷 페이지수는 셀수도 없이 많은데 저련 행렬을 만들고 계산할 수 있는가? 현대의 기술로 충분히 가능하고 또 그렇게 하고 있다. 좋은 수학적 알고리즘이 있고 또 하드웨어도 충분히 빠른 그런 세상인 것이다. 물론 구글이 저 알고리즘만 적용하는건 아니다. (추측이자 당연하다고 믿지만) 지리적으로 어디인지, 접속 IP 주소는 어디인지, 과거에 이 IP에서는 어떤 검색을 자주했는지,... 등 모든 데이터를 종합하여 검색 결과를 보여준다. 어쩌면 나에대해 오히려 나 자신보다 잘 알고 있을지도 모른다..

수학자 이야기를 좀 들려주려 했는데..

이미 인터넷은 -좀 식상한 얘기지만-내가 제어할 수 있는 범위 밖에있다. "무엇을 안다"는 것 보다 "어디가면 찾을 수 있나" 가 더 현실적이다. 새로운 것을 만드는것 보다 여기저기 흩어져 있는 정보를 어떻게 역어 내느냐 도 중요한 일이 되었다.
원래는 여기서 수학자 이야기를 들려주고 싶었는데 이미 여기 저기 좋은 글들이 너무 많다. 그중에 대표적인 곳으로 국가수리과학연구소가 운영하는 사이트 http://junior.nims.re.kr/index.html 를 추천한다. 몇몇 수학자들의 일생을 볼 수 있다. 이 카테고리를 어떤 컨텐츠로 채울건지는 좀 더 고민해야 겠다.

왜 미-파 시-도 는 반음이냐.. 4:5:6 비율의 작품

첫글이다. 예전 공부할 때 실험실에 음향학을하는 친구들이 있었다. 음악이 주파와 밀접한 관계인것 머리로는 알겠는데.. 아직도 귀는 막귀다.. 그것이 도대체 무엇이길래..ㅜㅜ

현재 우리가 노래하는 도레미파솔라시도는 피타고라스라는 수학자에서 기인한다. (물론 이후에 바하라는 자가 대대적인 개편을 했지만..) 주말에 인터넷 여기저기 돌아다니는데 대부분  음악중심으로 서술되어 있어 그냥 바벼운 수학 중심으로 도레미파솔라시도를 살펴 보겠다.

피타고라스가 어느날 대장간 옆을 지나가는데 굉장히 좋은 화음이 들린다. 분석해 보니 주파수비가 2:3 일때 좋은 화음이 들리는걸 알았다. 도-솔 화음이다. 솔은 낮은도-높은도 의 중간음이다. 여기서 더 나가 그 중간음 2 : 2.5 : 3 즉 4 : 5 :6 도 훌륭한 화음을 만드는것을 발견한다.

여기서 잠깐 태클: 그 당시에는 주파수 개념이 없었음이 당연하다. 어찌 측정할 방법도 없고. 다만 쇠막대 길이가 2배가 되면 저음이지만 비슷한 소리가 나는걸 알았고 (이걸 옥타브라고 현재도 부른다). 그 사이에 적절한 음이 있어 조화를 이루는걸 알았는데.. 사실 주파수는 쇠막대 길이에 반비례한다. 따라서 쇠막대 길이의 역수비 즉 (1/2):(1/3) 길이비가 좋은 화음을 만들었음을 알았을 것이다..

그렇다 우리는 두 가지 정보만으로 음계를 만들어 보겠다

• 주파수 2배나 1/2배는 같은 가족이다 (옥타브)
• 좋은 화음은 4:5:6 이다

이것을 근거로 한 옥타브 안에 음계를 만들어 보자. 4:5:6을 현재에서 낮은쪽, 높음쪽 양쪽으로 다시 그 비율을 가지는 쌍을 만든다. 즉

위에서 처럼 (4:5:6) 비율 3개를 연결 시키면 16, 20, ...., 54 까지 7개의 숫자를 얻는다.  이제 한 옥타브에 집어 넣기위해 (24~ 48) 그것을 2를 곱하거나 2로 나눈다. (한 옥타브는 같은 가족이라고 했다) 그려면 24~48 사이에 있는 7개의 주파수가 나올 것이다. 이제 그것을 크기 순으로 다시 정렬한다.

그 숫자들이 곧 도레미파솔라시인 것이다. 여기서 잠시 눈여겨 볼것이 있다. "레"는 "도"보다 9/8 만큼 크다. 사실 온음이 다 같은차이는 아니고 9/8, 또는 10/9 다 (물론 바하가 창시한 현재 음계는 두개가 같다. 아주 이상한 숫자 만큼..) 그런데 미-파, 시-도 사이는 16/15 로 좀 작다. 반음이다. 정확히 말하면 "반"음은 아니다. 이것들은 나중에 바하라는 사람이 평균율 이라는 이름으로 재정비 된다. 정확히 반음, 정확히 온음을 지키는 음계로..각 반음의 비율은 정확히 2^(1/12) = 1.05946..... 만큼.  수학의 로그라는것을 좀 알아야 한다.  공부해라 이것들아..

PS: 실로폰을 직접만들고 싶다면.. 주파수는 길이에 반비례한다는 것도 참고..