원문: http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky
너무 잘 만든 동영상이기에 내용을 소개하고자 한다. 많이 의역을 했으니 그점 양해 부탁하고.
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어느 잘 나가는 호텔이 있었다. 그 호텔은 무한의 객실을 가진 호텔로도 유명하다. 장사도 제법 잘 되고 서비스가 좋아서 항상 손님으로 북적 거린다. 그러던 어느 날 문제가 생겼다
호텔이 만원이 되어 무한대의 방이 다 나가 버렸는데.. 다시 한 손님이 와서 빈방이 있냐고 물어본다. 이 호텔 역사에 방이 부족하여 손님을 돌려보낸적이 없는데... 현명한 매니저는 고민을 하고 아이디어를 떠 올린다. 그리고 즉시 무한개의 객실에 방송을 한다
"손님 여러분 죄송합니다. 지금 사정이 생겨서 여러분이 묶고 계신 방번호에 1을 더한 호실로 각자 이동해 주시면 감사하겠습니다. 대신 불편을 끼쳐드려 저희가 소정의 기념품을 드리도록 하겠습니다."
각 방에 있는 투숙객들은 아무 불평없이 방송대로 방을 옮긴다. 이 호텔의 기념품은 누구나 원하는 그런 것이었기에. 이리하여 1번방 손님은 2번방으로, 2->3, 3->4... 같이 옮기고 나니 드디어 1번방이 비게 되어 새로온 손님을 그방에 배치 했다. 얼마 후 45인승 버스에 손님이 왔는데 매니저는 당황하지 않고 아까 하던 방법으로 방송을 한다."...... 방번호에 45롤 더한 호실로 이동.....".
이렇게 그 유명세를 타고 손님이 더욱 더 많이 왔다. 그러던 어느날 또 문제가 생겼다. 또 호텔은 만원인데 이상한 버스 한대가 오는 것게 되었다. 무한대의 길이를 가진 버스에 무한대의 승객이 탑승한 그런 버스.. 매니저는 또 고민에 빠졌다.. 한참을 고민하다 또 마이크를 잡고 말한다.
"손님 여러분 죄송합니다. 지금 계신 방번호에 2를 곱한 호실로 이동하여 주시기 바랍니다....."
이리하여 1->2, 2->4, 3->6 .... 로 손님들이 방을 옮기고 나니 1,3,5,7,.. 등 홀수 번호 방들이 비워졌다. 다행히 홀수의 개수는 무한개라 이상한 버스에 타고온 손님을 모두 맞을 수 있었다.
그럭저럭 세월은 흐르며 호텔도 번성하던 중... 이번에는 더큰 문제가 생겼다. 무한의 길이를 가진 버스가 무한 대수 만큼 호텔로 온것이다. 매니저는 고민한다.
전번 처럼 2를 곱하여 손님을 옮기고 다음차에 있는 손님을 맞고 또 같은 방송을 하여 그 다음차 손님을 맞고, 또 방송을 하여 그 다음차,....... 생각해 보니 무한 시간 동안 무한번의 방송을 해야 되게 생겼다. 한참을 고민한 끝에 기원전 300년 유클리드가 말한 소수(prime number)의 특징이 떠올랐다. 그리고 방송 마이크를 잡고 힘주어 말한다
"손님여러분 죄송합니다. 각자 2에 방번호 만큼 제곱한 호실로 이동하여 주시기 바랍니다 !!"
즉 1호실은 2호실로, 2호실은 2*2=4 호실로, 3호실은 2*2*2=8호실, .... 10호실은 2^10=1024호실로... 이동을 하게되었다.
그리고 첫번째 버스에 타고온 손님은 다음 소수인 3을 활용하기로 한다. 첫번째 손님은 3호실, 두번째 손님은 3*3=9 호실, 세번째는 3*3*3=27, ....
그 다음 버스는 다음 소수인 5, 그다음 버스는 7, 11, 13,.... 을 이용하여 무사히 무한대의 버스에 탄 손님을 겹치지 않게 모실 수 있었다. (번역주: 사실 소수는 아직까지 비밀이 많다. 아주 큰 수로가면 그 다음 소수가 무엇인지 쉽게 알 수 있는 방법이 현재 까지는 없다. 다만 소수의 개수가 무한대라는 것은 쉽게 증명할수 있다. 이 동영상은 무한을 설명하는 것으로 매니저가 다음 번에 올 소수를 모두 알고 있다고 봐야 한다)
이렇게 하고도 6번, 10번 등 두 개이상의 소수로 이루어진 합성수에 대한 호실은 빈방으로 남게 되었는데.. 어짜피 오는 모든 손님을 맞을 수 있으면 된것이니 상관 없다.
칸토어는 이렇게 크기는 무한이지만 자기 바로 다음에 와야될 수를 알 수 있는 무한에 대해 셀수있는(countable) 무한 이라고 보고, 자연수의 개수의 크기를 N0 ("알레프 널" 이라 읽는다) 고 명하였다.
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이상 동영상의 주된 내용이다.
위글에서 무한을 수학으로 끌고 온 핵심은 무었인가? 바로 매니저가 방송을 한번만 한다는 것이다. (물론 손님은 모두 무한에 대한 개념이 없는 것도 참고 할만하다) 만약에 첫번째 난관에서 매니저가 이렇게 했다면
"손님 여러분 지금 부터 2번방은 3번방, 3번은 4, 4번은 5,.......1000번은 1001,......"
같이 해도 추가로 온 손님을 맞을 수는 있다. 그렇지만 그렇게하는건 무한대의 시간이 필요하다.
수학적인것이란 바로 "더하기 1" , "곱하기 2", "소수의 제곱" 등에 대한 대한 문구를 생각해 내고 무한의 개념을 전혀 모르는 객채가 실제로는 무한적인 성질대로 행동하게 만드는 것이다.
그리고 소수를 끌어 들인 점도 중요하다. 괴델도 그 유명한 "불완전성의 정리"를 만들때 소수와 무한의 개념을 쓴다. 그런 방법에 착안하여 튜링이라는 사람은 현대 컴퓨터의 핵심이 되는 "알고리즘"이라는 개념을 창안 한다.
